SUR L'INTÉGRATION, ETC. 795 
est celle des forces vives, 4 =— H, on a identiquement (a, 8) — 0, 
en vertu de l'équation même qui définit les intégrales. 1 peut se 
faire aussi que (æ, B) se réduise à une constante au moyen des 
intégrales déjà connues, et alors om n’apprend rien de nouveau. 
Ces divers cas d'exceptions nuisent beaucoup à l’emploi de la 
méthode d'intégration indiquée ci-dessus. Mais, quand ils ont lieu, 
les intégrales (a) et (GB) jouissent de propriétés particulières dont on 
peut souvent tirer un autre profit pour l'intégration- des équations 
dynamiques proposées. J'emprunte les expressions mêmes de Jacobi 
dans une lettre adressée en 18/40 au président de l'Académie des 
sciences (voir le tome V du Journal de M. Liouville, p. 350). Cette 
idée (que l'illustre géomètre devait développer dans un ouvrage 
auquel il a longtemps travaillé, mais que la mort l’a empêché de 
faire paraître, et qui jusqu'ici est resté inédit) est une des bases 
de mon mémoire. 
Je m'appuierai encore sur un beau travail de M. Bertrand, 
relatif à ces mêmes cas d'exception, et en particulier sur le thco- 
rème que voici | : 
TuéorèmE. — Étant donnée une intégrale (X) autre que celle des 
Jorces vives, et que je suppose indépendante du temps, on peut com- 
pléter la solution au moyen : 
1 De 2n — 2 intégrales comprenant (À), qui sont indépendantes 
du temps et qui donnent (X, 4) — o, (11) étant une quelconque d'entre 
elles: 
2% D'une autre (v), également indépendante du temps, mais telle 
que (À, v) — 1; 
3 Enfin, d'une dernière intégrale (ep) de la forme 
p = (Q) (Ps hs x) Pn> In) — l, 
qui donne encore (À, p) — 0. 
Deux intégrales (A) et (»), pour lesquelles on a (À, ») — 1, 
et par conséquent (v, À) —— 1, sont dites intégrales conjuguées. 
Celle qui contient le temps est la conjuguée de celle des forces 
* Mécanique analytique, t. I, p. 426. ’ 
100. 
