SUR L'INTÉGRATION, ETC. 801 
Voici maintenant en quelques mots, extraits du travail de 
M. Bertrand, comment on doit transformer les intégrales du pro- 
blème, telles qu’elles sont immédiatement découvertes, pour ob- 
tenir des solutions de mes équations (1), (6), (8), etc. 
Si l'on connaît une intégrale quelconque (c,), indépendante du 
temps, on peut poser 4, — G, el rien n’empèche de supposer que 
les autres intégrales, qui sont parfaitement inconnues, forment un 
système du genre de celui dont le théorème de M. Bertrand dé- 
montre la possibilité. On calculera alors les coefficients de l'équa- 
tion (5), qui admettra pour intégrales 
CAMES (Are 1 
Supposons maintenant qu'on ait une autre intégrale du problème, 
(c), également indépendante du temps. Pour chercher à conti- 
nuer labaissement, on formera la quantité (c,, c.), et alors il 
pourra se présenter trois cas: 
nelle, 1e) e8t identiquement nulle; alors on peut poser à, — €, 
et former l'équation (8), qui a deux termes de moins que l’équa- 
tion (5). 
2° (c,, c,) est une constante numérique que l’on peut toujours 
supposer égale à l'unité; alors (c,) est la conjuguée de (c), et ne 
peut servir à pousser plus loin l'abaissement : en effet, la méthode 
qui a conduit à l'équation (5) consistait simplement à éliminer de 
la solution l'intégrale conjuguée de (a), qui se trouve ainsi com- 
plétement étrangère à l'équation réduite. 
3° (c, c.) est une fonction des inconnues du problème; alors 
cette fonction, égalée à une constante c;, fournit une nouvelle m- 
tégrale. On formera (c,, c) = &; (esa)=tieriet ainsi de suite 
jusqu'à ce que lon tombe sur une combinaison {c, 1) — Ck, 
qui soit une fonction des précédentes et de H. 
Alors il existe k — 3 intégrales du problème, fonctions de 
Ci Cas... Ck, et de H, données par une équation différentielle 
partielle linéaire, et dont l’une quelconque peut être prise pour 
l'intégrale (x). Les autres satisfont à l'équation (5) et seront üuti- 
SAVANTS ÉTRANGERS, — XIV. 101 
