sur les Fondions de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 293 



fait surgir la pensée de chercher des propriétés pour la pre- 

 mière analogues à celles existant déjà pour la seconde , mais 

 aussi réciproquement , si l'on expose des propriétés de la pre- 

 mière intégrale analogues à des propriétés connues de la seconde, 

 au moyen de procédés identiques , on est amené à croire que , 

 pour trouver cette première intégrale , on s'est aussi servi de 

 la seconde. 



Je vais faire voir que c'est ce qui a eu lieu , et que le Mémoire 

 de Jacobi étend à la première intégrale une propriété connue de 

 la seconde par des procédés identiques. 



27t 



Théorème. — La formule 1 1 



/ ± L -i- mi eus , 



2t 



|/ /' -h »i> 



peut servir à établir la formule de Laplace (I) ; 



P. (cos y) = — J (ces y — sin y cos ? J/ — 1 )" rf y 



"^ 



Où P„(cosj'), suivant la notation de M. Lejeune-DiriMet , 

 désigne le coefficient de a" dans le développunent , suivant tes 

 puissances de a , de 



\ 



K 1 — 2 a cos y -f- a' 



l =^ 1 — a COS y 



Démonstration. Si l'on pose 



m = a sin y 



il vient : 



^/ t' + m' = 1/ 1 — 2«! cos y 4- a' 



(i) Tome V. Livre XI des œuvres de Laplace. (Page 59). (EdiUon du Gouver- 

 nemeut. ) Celle foroiule sert à Irouver la valeur que doil prendre P, (cosy) 

 pour n Irès-grand. Il esl une manière simple d'arriver à celle valeur que je 

 ne larderai pas à publier. F, (cos y) esl comme on sait un cas parliculier des 

 fondions sphériques. 



