'2^ii N. C. SciiMiT. — Études (ailes à l'occasion de recherches 



Formule toul-à-fait analogue à celle de Laplace , mais plus 

 générale, puisqu'elle considère cos y non pas comme une quaiitilé 

 seulement, mnis comme une fonction de deux angles, et plus 

 profonde, puisqu'elle permet d'entrer dans la nature intime de 

 P„ (cos y) et de séparer, comme il est facile de le prùvoir, 

 ce qui est dépendant de l'angle /3 de ce qui est dépendant de 

 l'angle /3'. 



C'est sur celle formule que Jacobi se base pour arriver à la 

 formule si remarquable, donnée d'abord par Laplace , (1) 



P„(eosy)= P„ (cos/3)P„ (cos;3') + 



- (n— 1)! . „ . ^, rf. P„(cos/3) rf.P.(cos,S') , 

 -f-2-i — -sm/Ssm/S' li ■. — -^cos (o — O') 



, - (h-2)! . „ . „, rf'.P„{cos/3) rf».P„(cos/3') „^^ , 



+ 2 -^^ -4-r sin |S' sm ;S'= — -' > — r-icos'2(ô—'.i) 



~ (»i + 2) (rf-cos/3/ (rf-cos/3'» ^ 



+ ete 



Ainsi, pour me résumer , je crois pouvoir considérer la dé- 

 monstration rajjportée par M. Lejeune-Diricblet comme étant celle 

 dont s'est servi Jacobi , parce que de 



2it 



''f 





on déd' 



i cos ? y'i, _j_ ,„, 



1 / 



éduit P„(cosy) = — — / (cos y — siny cos yf/ — 1 )" rfy , 



(1) Legendre a cependant avant Laplace, trouvé une partie de celte formule 

 dans un Mémoire sur l'atlraclion des Sphéroïdes. {Sav. élr. vol X.) 

 Il a posé : 



2ir 



2;p/Pn(cosv)de = P„ (cos /S). P„(cos^'). 

 



