SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 55 
70. Après cela, nous ferons observer que comme, quelle que 
soit la valeur de l'indice ,, les limites x}, x’, ne dépendent point 
des variables x,, æ,_,,...,, lon doit avoir identiquement 
(article 61 ) : 
dx", — dx" ete NE ES +. + L dx 
Pine p dx dx, F CEE Fr 
= dzx'; dx’ dx’ 
dx, — dx’ = ste 5 f x \ 
Lo En mere NT PR da, +. + TER" CEE 
tandis que (article 60) 
TH du d l d 
QU BU TE Je HEC NS El SE pUUUNNEUR Ge 
dx dx, dx, dx, 
Nous substituerons donc ces valeurs dans le second membre de 
l'équation 10, et nous trouverons qu'il reproduit identiquement 
celui de l'équation 9 : ce qui suflit pour prouver l’équivalence 
de nos formules avec celles que l’on pourrait déduire de tout autre 
procédé. 
CHAPITRE III. 
L° 
73. Dans ce nouveau chapitre, nous appliquerons le calcul 
des variations à la recherche des maxima et minima des inté- 
grales définies multiples, et plus généralement encore des ex- 
pressions définies relatives à un même système de limites; mais, 
avant de commencer, nous croyons devoir indiquer quelques 
modifications dans les conventions précédentes. 
74. D'abord, nous n’aurons plus à considérer les fonctions 
auxiliaires, que dans le dernier chapitre nous avons exclusive- 
ment désignées par des lettres majuscules; dès lors nous pour- 
rons employer ces dernières sans aucune acception distincte, et 
