546 DÉVELOPPEMENTS SUR QUELQUES POINTS DE LA THÉORIE 
et en substituant dans l'expression (9), nous voyons que la con- 
dition pour que les surfaces considérées soient isothermes est 
que le rapport 
da, d d'x 
di ‘ dy dz° 
dA\ 2 dA\ 2 d\?2 
Ge) le) 
soit une fonction du seul paramètre à. Récrproquement, si cette 
condition est remplie, en déterminant la température des diverses 
surfaces par la formule (4), on aura un état calorifique qui , une fois 
établi, se maintiendra indéfiniment, puisque chaque élément 
compris entre deux tranches d'un canal quelconque perdra à 
chaque instant autant de chaleur qu'il en gagnera. 
IT. 
Un système quelconque de surfaces qui s’enveloppent les unes 
les autres étant donné , il existe dans un grand nombre de cas deux 
séries de surfaces trajectoires orthogonales qui les coupent suivant 
leurs lignes de courbure. Dans tous les cas examinés jusqu'ici, en 
prenant pour surfaces primitives des surfaces isothermes, il s’est 
trouvé que les surfaces orthogonales étaient aussi isothermes. II 
est important de savoir si ce fait peut être érigé en théorème ge- 
néral. Pour nous assurer qu'il n’en est pas ainsi, nous emploie- 
rons la méthode si connue de démonstration par l'absurde, qui 
consistera ici à admettre d’abord le théorème pour en déduire des 
conséquences dont quelques-unes seront évidemment inexactes. 
Considérons trois séries de surfaces isothermes orthogonales. 
On sait que chacune d'elles coupe toutes celles des autres sys- 
tèmes suivant leurs lignes de courbure. Considérons sur lune 
de ces surfaces un rectangle A B C D de dimensions finies, formé 
par quatre lignes de courbure; menons quatre autres lignes de 
courbure respectivement très-voisine des quatre premières, de 
