556 DÉVELOPPEMENTS SUR QUELQUES POINTS DE LA THÉORIE 
Lorsque cette condition sera remplie, il faudra, d'après le théo- 
rème exprimé par l'équation (e) du second paragraphe, qu’en con- 
sidérant sur l’un des plans méridiens un rectangle de dimensions 
finies, formé par les traces de quatre surfaces de révolution 
appartenant deux à deux à des systèmes différents, les dis- 
tances des quatre sommets de ce rectangle au plan méridien in- 
finiment voism, forment les quatre termes d'une proportion; 
mais ces distances sont proportionnelles aux rayons des parallèles 
que les quatre points décrivent dans leur rotation autour de 
l'axe. Nous avons donc ce théorème : 
Deux systèmes de lignes isothermes orthogonales étant donnés, pour 
que leur rotation autour d'un axe engendre des surfaces de révolu- 
tion isothermes, il faut que les distances à l'axe des quatre sommets 
d’un rectangle quelconque formé par les intersections des lignes données, 
soient les quatre termes d'une proportion. 
On peut vérifier que cette condition est remplie par un système 
de sections coniques homofocales; ces lignes sont, comme on sait, 
des lignes isothermes, et leur révolution autour d’un de leurs 
axes engendre des surfaces de révolution isothermes. Si donc 
on prend un rectangle formé par deux hyperboles et deux ellipses, 
les ordonnées de ses quatre sommets devront former une pro- 
portion. Or, c'est précisément ce qui résulte d’un théorème de 
M. Chasles d’après lequel une même hyperbole coupe toutes 
les ellipses en des points correspondants dont le rapport des or- 
données est égal au rapport des axes des ellipses sur lesquelles 
ils se trouvent. 
Le théorème précédent montre qu’il est impossible d'admettre 
que des surfaces isothermes de révolution aient toujours pour 
trajectoires orthogonales conjuguées d’autres surfaces isothermes 
de révolution. Si cela était en effet, il faudrait, d’après un théo- 
rème démontré plus haut, que les méridiens d’un système de 
surfaces de révolution isothermes fussent toujours des lignes iso- 
thermes. Admettons pour un instant qu'il en soit ainsi : si nous 
remarquons qu'une série de surfaces ou de lignes isothermes est 
