DES SURFACES ISOTHERMES ORTHOGONALES. 557 
complétement déterminée quand on connait deux d’entre elles, 
nous en conclurons que des lignes qui, en tournant autour d’un 
certain axe, engendrent des surfaces isothermes engendreraient 
également des surfaces isothermes en tournant autour d’un autre 
axe quelconque. 
En effet, prenons deux des lignes en question; en les faisant 
tourner autour d’un axe quelconque, elles engendreront deux 
surfaces de révolution , et si nous regardons ces deux surfaces 
comme ayant en chacun de leurs points une même température 
différente de l'une à l'autre, de manière à ce qu’elles soient 
toutes deux surfaces isothermes, la série des surfaces isothermes 
dont elles feront partie sera, par cela même, déterminée, et ne 
pourra l'être que d’une seule manière. Toutes les surfaces 
qui composent cette série seront de révolution, comme les 
1 M. Liouville, dans ses leçons au Collége de France, a démontré cette proposition de la 
manière suivante. 
On peut d'abord remarquer que, si des surfaces isothermes sont possibles lorsque deux 
d'entre elles ont des températures données, ces surfaces pourront encore rester isothermes 
lorsque les températures données viendront à changer. Cela posé, l'équation de l'équilibre de 
la chaleur étant 
ŒV ŒV dY 
ONE CN 
je dis que si tous les points de deux surfaces S et S, ont des températures données, les tempé- 
ratures de tous les points du corps'seront parfaitement déterminées. Si, en effet, on avait deux 
états possibles, on en formerait un troisième, en donnant à chaque point la différence des 
températures qu'il prend dans chacun des deux autres, et, par conséquent, en supposant une 
température nulle à tous les points des deux surfaces S et S,. Si V, désigne alors la tempéra- 
ture d'un point du corps dans ce troisième état possible, on aura 
ŒNIVUEV Ed Y; 
dx dy dz# 
Multiplions par V, dx dy dz, et intégrons dans toute la portion de l'espace comprise entre les 
surfaces S et S,, nous aurons 
‘fjdxd res Eee My cb 
JS dx dy dz &e Re Fe La =: 
ou en intégrant une fois par partie chacun des termes qui se trouvent sous le signe fff, 
