DES SURFACES ISOTHERMES ORTHOGONALES. 559 
SURFACES ISOTHERMES. 
DÉMONSTRATION D’UNE PROPRIÉTÉ DE L'ELLIPSOÏDE. 
On sait que, sur une surface quelconque, il passe en chaque point deux 
lignes de courbure perpendiculaires l'une à l'autre; il résulte de là que l’on 
peut toujours diviser une surface en rectangles infiniment petits, dont les 
côtés soient formés par les lignes de la courbure de la surface. J'ai été con- 
duit à démontrer, par des considérations empruntées à la théorie de la cha- 
leur, que, dans le cas d’un ellipsoïde, on pouvait faire en sorte que tous ces 
rectangles devinssent à la fois des carrés, ou, plus généralement, qu'ils de- 
vinssent tous à la fois semblables à un rectangle donné. C'est cette proposi- 
tion que j'ai pour but ‘établir directement. Pour y parvenir, j'emploierai 
les coordonnées curvilignes de M. Lamé, qui, dans cette question, se pré- 
sentent, pour ainsi dire, d’elles-mêmes. 
Dans le système de coordonnées proposé par M. Lamé, chaque point de 
l'espace est déterminé par les paramètres de trois surfaces du second degré 
homofocales, que l’on peut faire passer par ce point. 
b° etc” désignant deux constantes et y, », p les paramètres en question, 
les équations des trois surfaces sont de la forme 
Puisque nous considérons ici les points de la surface d’un ellipsoïde, le 
paramètre y sera pour nous une constante donnée; alors chaque valeur 
attribuée à » fournira une ligne de courbure de la surface, les lignes de 
courbure de l’autre système étant définies par les valeurs constantes de p. 
Considérons sur l’ellipsoïde un point dont nous désignerons les coordon- 
nées par ». et p,; si l'on change » en » + dm, p,en p, + dp,, à ces nou- 
