560 DÉVELOPPEMENTS SUR QUELQUES POINTS DE LA THÉORIE 
velles valeurs des coordonnées correspondront deux lignes de courbures, et 
les quatre lignes 
D —\Y); V— ?, + dr, 
P—=P, p— Pi - dpi 
comprennent entre elles un rectangle. Cherchons la condition pour que ce 
rectangle soit un carré. Si ds, ds, désignent ses deux côtés, M. Lamé a 
trouvé (Mémoire sur les surfaces isothermes) 
Eh Vr—»" Vri—pi x 
Var Ve — v 
VER. 
VE pr VE pe 
Si donc on veut avoir ds —df",, il faut que 
VER VE VE 
VE — pi \ Re Vu; 
Si sur la ligne de courbure dont l'équation est »—»,, nous prenons un 
point dont les coordonnées soient »: et p, la ligne p— fà aura une portion 
ds, interceptée entre les deux lignes qui ont pour équations 
ds 
1 
ds — 
dr — dp (1) 
15 
ES 
DS V2 — », + dr, 
a 
et l'on aura 
Verre 
E Vu DE A lo — PÈ 
Si l’on nomme ds’, la portion de la courbe » — », comprise entre Îes lignes 
qui ont pour équations 
ds, dy. 
P— sr p— p: + dp,, 
on aura 
Dr ns NEEE ee VE 
OVER Ve —pà 
et, par conséquent, pour que les deux lignes p=— p., p— p, + dps, for- 
ment un carré avec les lignes » =», » — », + dm, il faut que l’on ait 
VE pi VF VE 
VE — ps Ve — pi VE— vo 
dp;; 
dy — dp, ; (2) 
