DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 567 
s’exprimeront eux-mêmes rationnellement en à, (u,w') et x (u,u'), 
car, en faisant disparaître les irrationnelles des équations, puis les 
différentiant successivement par rapport à u et uw’, on obtiendra 
les dérivées partielles en fonction rationnelle de X(u,u’) et à,(u,u'). 
Représentons pour un instant ce premier nombre par @(u,u'); 
on démontrera aisément, au moyen des propriétés relatives à la 
périodicité des fonctions à, légalité suivante : 
REV: he KV + Fa is ki, ht y) pkq hr MgU"Q (un), 
quels que soient les entiers 4, k', k”, k”, 
En l'élevant à la puissance », on obtient donc une fonction ra- 
tionnelle de x (u,u'), A (u,u'), qui ne change point en substituant 
à ces quantités deux autres quelconques des racines simultanées 
des. équations proposées. Il résulte de là, et de la théorie des 
fonctions symétriques des racines d’un système d'équations à plu- 
sieurs inconnues, que cette fonction pourra être déterminée ra- 
tionnellement par les coefficients des équations proposées. 
Mais comme il a été introduit précédemment les dérivées par- 
tielles de X, (ru, nu’), A,(nu, nu’), on pourra les éliminer par les 
formules suivantes : 
A(x) 
! / dx / 1 1! 2 dx - 
(72 nee lé LE CR 
(28 — g) DD (a +2), (æ8— Ga) D =D (a+ 6e), 
appliquées, bien entendu, aux quantités æ,, Yu: 
Il suffit maintenant, pour achever la démonstration du théo- 
rème énoncé, d'observer que toute fonction rationnelle des deux 
radicaux 
A(x(nu, nu')},  A(xnu, nu')) 
peut être mise sous la forme 
À + BA(X (nu, nu')) + CA(X, (nu nu')) + DA (x (nu,nu')) A(X (nu nu')). 
