SUR LA PROBABILITÉ DES ERREURS. 619 
y donne repose sur la réciproque de la remarque de Legendre, 
que lamoyenne arithmétique se déduit de sa méthode, quand cette 
moyenne peut avoir lieu. Réciproquement, si la moyenne arithmé- 
tique adoptée généralement est nécessaire, dit M. Gauss, il en 
résulte qu'une certaine loi de probabilité est nécessaire, et que le 
seul procédé à suivre pour:combiner les équations fournies par 
l'observation est le procédé qui rend un minimum la somme des 
carrés de ces équations. Mais on doit convenir que l'hypothèse 
de la nécessité de prendre la moyenne arithmétique d'une masse 
de faits, pour obtenir le résultat le plus exact possible, est tout à 
fait gratuite, et ne saurait pas plus être admise a priori que lhy- 
pothèse même de la nécessité du minimum des carrés. Il n’y a 
donc là qu’une preuve restreinte aux cas particuliers où la loi de 
probabilité des erreurs, qui conduit toujours à la moyenne arith- 
métique, existe dans les observations, et c'est ce qui arrive très- 
souvent par la nature des choses. Mais comme on l’'ignore le plus 
ordinairement, il n'existe pas là de démonstration vraiment solide. 
Aussi dans un ouvrage bien plus récent, consacré exclusivement 
à la méthode des moindres carrés, T'heoria combinationis observa- 
tionum minimis erroribus obnoxiæ, in-4°, 1823, M. Gauss a-t-il fonde 
sur d’autres considérations l'emploi de cette méthode. Ce ne sont, 
toutefois, que des considérations et non des preuves, et l'on ne 
trouve de démonstration réelle que dans les travaux antérieurs de 
Laplace. 
C’est dans un mémoire, publié en 1811, que Laplace fit voir 
que, quand le nombre des observations est assez grand, les erreurs 
les plus restrentes, probablement, sont données par la méthode 
des moindres carrés. Ge mémoire se trouve parmi ceux de lAca- 
démie des sciences pour 1 81 1, et il a été reproduit dans la Théorie 
analytique des probabikités, qui parut en 1812. Les principes de la 
démonstration de Laplace sont à l'abri de toute objection; les 
moyens analytiques peuvent seuls en soulever quelques-unes. Ils 
n'ont point toute Ja rigueur désirable, et peut-être dans les 
applications conviendrait-il de bien discuter les cas particuliers 
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