(7) 



aCb' ; deinde per A et B parallelae quas primam aCb' secabunt in 

 pnnctis a etb'; deoique facto B6 = BZ>' vel Aa' = Aa, si delineatur ab 

 vel a'b', punctum D in quo istae rectam AB secabunt, erit quartum har- 

 monicum qujesitum. 



Reipsa , ex construclione habetur DB : DA = B6 : Aa et CB : CA = Bb' : Aa. 

 et cum Bb = Bb', sequitur DB: DA = CB : CA vel DB x CA =DA X CB. 



2» Ponamus rectam AB harmonice ita dividendam esse ut segnienta 

 AD et BD sint inter se uli m:n: per A et B ducantur duae parallelae, 

 et sumantur Aa = Aa' = m et Bb = B^' = n : liis factis, rectae ab et a b' 

 rectae datae occurrunt in duobus punctis quaesitis, et habetur eadem 

 proportio quse supra. 



Evidens est, si m = n, punctum D esse in infinitum et AC = CB: 

 si ny m, punctum D in productionera rectse BA cadet. 



C et D puncta conjugata dicuntur quia a se invicem mutuo pendent. 



THEOREMA IV"™. 



Si recta AB in punctis C et D harmonice dividitur, et si ex quodam 

 puncto S ducanlur rectae ad puncta A, B, CetD, transversa A'B' ad 

 arbitrium ducta , harmonice secabitur. ( fig. 8 ) 



Demonst. Kx dalis sequitur proporlio AC : CB = AD : BD (i) 



et ex trianguHs ASC, CSB, BSD et ASD, deducitur, 



,^ ASXslnASC ^n BSXsinCSB , _, ASXsinASU T>r. BSXsinDSB 



AC= . ,„„ — , CB= — TTir — , AD = . .,.„ — , BD= . „,,„ 



sm ACS ' sin BGS ' sm AIJS sin BDS 



Quibus valoribus in proportione (i) scriptis, veniet 



sin ASC : sin CSB = sin ASD : sin BSD (2) 



Habebimus etiam 



,,^, A'SsinA'Sr/ ,, „,„, B'3sinC'SB' ,,, 



^^ = sinA'C'S •••W ^^ = sinB^CS ••'W 



,^A'SsinA'Siy ^^ B B'SsinB'D' _^ 



sin A'D'6 ^ ^ sin B'D' ' 



Dividendo produclum ex (o) in (c?), per productum ex {b) in (c), re- 

 ducendoque ope aequationis (3) , erit 



A'C' X B'D' = A'D' X C'B', unde A'C' : C'B' = A'D' : B'D'. 



