( 10 ) ' 



Nam si ex puncto n (fig. 16), ducatur quaecumque recta wG' rectae 

 km in m' occurrens, si deinde capiantur duo puncta F' et G' quac cuni 

 m' et n sint liarmonica , et si denique ex punctis F' et G' ducantur 

 systeniata rectarum F'D, G'B, etc. . . . quae sese invicem supra km secant, 

 omnium rectarum BD, etc. . . . concursus erit puuctum n. 

 Triangnlum FIG transversali «G' sectum, dat 



Yn X GF' X IG' = FG' x G« x IF'. 

 Trianguluni AFI transversali G'B sectum, dat 

 AB X FG' X IF = AF X FB x IG'. 

 Triangulum AGI transversali F'D sectum, dat 

 AF X IF' X GD = AD X GF' x H'. 

 Ducendo iuter se sequationes istas, orietur 



F« X AB X GD = Q.n x FB x AD. 

 Ergo ( Theor. I. ) puncta D,B et n sunt in directum posita. Ex Iiis 

 aliae proprietates concludi possenl. 



THEOREMA VI. 



In omni quadrilatero simplici, recta qus per diagonalium media tran- 

 sit, latera ia segmentis proportionalibus dividit. (fig. 13, I4 et 15.) 



Demonst. Triangulum AOQ dat : 



AO : AQ = siu Q : sin O. 



Ex triangulis DOR' et DQR' in quibus BR' = R'D , et summa angu- 

 lorum in R' duobus angulis rectis est sequalis, deducitur, 

 BQ :D0 = sinO : siuQ. 



Ducendo inter se istas asquationes, erit 



AOxBQ = AQxDO, vel AO : DO = AQ : BQ (i). 



Ex consideratione triangulorum BQS , AQR et CRS deducitur etiam , 

 BQ X CS = BS X AQ, vel AQ : BQ = CS : BS . . (2). 



Eodem modo, ex triangulis CPS, DPR' et BR'S consequitur 



CP X BS = CS X DP, vel CP : DP = CS : BS (3). 



