122 DÉMONSTRATION D'UN NOUVEAU CAS 
1. Si l'équation x7+y=27 est possible en nombres entiers, 
on peut supposer l'existence d’une solution pour laquelle x, VA 
n'auraient aucun facteur commun; car si A représente le plus 
grand commun diviseur entre trois nombres Ar, Ay, Az, qui 
vérifient l'équation proposée, on pourra diviser l'identité (Ax)? 
+ (Ay)=(Az) par A’, et l’on aura l'équation 
(1) &'+y 21 
dans laquelle x, y, z, ne peuvent plus être divisibles tous les trois 
par un même nombre. Alors +, y, z, sont nécessairement premiers 
deux à deux; car un facteur premier à ne pourrait diviser deux 
de ces nombres sans diviser le troisième. 
2. Des trois nombres x, y, z, l'un est nécessairement pair et 
les deux autres impairs. Il serait possible qu'aucun d’eux ne fût 
divisible par 7; car, les nombres que 7 ne divise pas étant com- 
pris dans les formes 7i+1,+2,#3, leurs septièmes puissances 
le sont dans celles-ci : Agi+1,#+19,#+18, et la somme de trois 
des six restes £1,+19,+18 peut être nulle. Ainsi il y a lieu de 
considérer deux cas différents : 1° celui où 7 ne divise ni x, ni y, 
ni z; 2° celui où 7 divise l’un de ces nombres. 
PREMIER CAS. 
3. L'équation proposée étant mise successivement sous les 
trois formes suivantes : 
CC Dr 2 C2 nr 8 Cr 2 D 0 Cm 
DU Ce nt 28 mr À De nc 
V=(e—2) |(2 a) + 7a(e—2) +3. 722 — x) +5. 72 (7 — x) 
+ D.72{2— 2) +3. 7a(2—x) + qua) —=(2—x)Y, 
= o+y) ere +87 (+57 (+7) 
+7 ep): y) + 77 = (0 +7)2; 
