426 DÉMONSTRATION D'UN NOUVEAU CAS 
Ï s’agit d'éliminer a, b, c, entre ces quatre équations, afin d’ob- 
tenir une équation finale entre les trois nombres B, D, P. La 
seconde (14), combinée avec le carré de la première, donne : 
a +b?+c—92BD—/AB'P?, —bc—ca+ab—=AB{P—BD; d’où il est 
facile de conclure {aï+-b"+ct+2(b?02+c?a?+a?b?)]=(2BD—AB'P??, 
et b’c?+c?a?+ab—(4B'P2—BD)—/AB?P5. Enfin ces valeurs, substi- 
tuées dans la quatrième (14), donnent pour l'équation finale : 
—B—3(2 BD — BP) + A(4BP2—BD}— 1 GBEP°. 
Si l’on développe les carrés indiqués, cette équation devient 
divisible par 16 B?, et peut s’écrire ainsi : 
(5) 7()-+P°= D? 5BPD + 7B'P+ 
Mac he. lets 
B est divisible par 7, comme on la vu : ainsi 7 est un nombre 
entier. On établit facilement que P=wp est un nombre pair; 
en effet, l'équation x+y—2=AP exige que AP soit divisible par 2, 
puisque des trois nombres x, y, z, un seul étant pair et les deux 
autres impairs, le nombre (æ+y—z) est nécessairement pair; or 
À ne saurait être divisible par 2, qui divise x, ou y, ou z, avec 
lesquels À doit être premier; donc 2 divisera P, c’est-à-dire l’un 
des trois nombres y, », p; et À ou B?, par suite B sera un nombre 
impair. D'ailleurs un seul des trois nombres y, », p, ou des trois 
autres a=p?, b=»", c=p", étant pair, le premier membre de l'e- 
quation (13) est essentiellement impair, d'où il suit que non- 
seulement B, mais aussi D, sont impairs. 
8. Il résulte de là que l'équation (15) est impossible en 
nombres entiers, avec ces conditions; car elle peut se mettre 
sous la forme : 
(16) P2{7B°P2—5B:D—P°) — 7(5) D". 
et le premier membre est de la forme Ai, tandis que les carrés 
