430 DÉMONSTRATION D'UN NOUVEAU CAS 
Si À, premier avec 7P et x, et divisant (Ÿ—bc), avait un facteur 
premier à commun avec la parenthèse qu'il multiplie dans le 
premier membre de l'équation (25), à diviserait (4ÿ—3bc) et 
(Ÿ—bc), par suite be=(4Ÿ—3bc)—/A(t—bc), conséquemment b 
ou c, » Où p; À ne serait donc pas premier avec 7P. Donc le 
seul moyen de décomposer l'équation (25) est celui-ci : 
(26) b—bc+c?=BG, A=B?, A+ 7Pr(4t—3bc—3.7APx) —G?. 
B et G étant deux nombres premiers entre eux, et tous les deux 
impairs, car (b?—bc+c?) est toujours impair, que l’un des deux 
nombres b et c soit pair, ou qu'ils soient tous les deux impairs, 
seuls cas possibles. Il est donc démontré que À est un carré. Soit 
pris D=G—2BPa, d'où G=—D+2BPa; la première des équa- 
tions (26) devient alors b+c?—bc—BD+2B’Pa—BD+a(c—a—b), 
ou bien 
(27) &+4+b?+c—bc—ca+ab=BD, 
D étant impair comme G. 
13. Les équations (20), (21), (23) et (27) fournissent le 
groupe 
(28) c—b—a—2.7BP, a+b+c—be—ca+ab=BD, abc=7P", 
3(aï+bt+ct)+ 1 0(b°c7+c?a2+a?b?) = 1 6B". 
I s’agit d'éliminer a, b, c entre ces quatre équations; les deux 
premières donnant d+b+c—(2BD—/4.7B'P°), —bc—ca+ab= 
4.72B'P°—BD ; et ces deux équations a+b'+c-+0 (bc7+c°a+ 00?) 
= (2BD—4.7 BP}, b?e2+ca+ al? = (4. 7°B‘P>—BD)—4.7"B'P$. 
Ces valeurs, substitutes dans la quatrième (28), donnent une 
équation finale où 16B? peut être supprimé, comme facteur 
commun, et qui donne définitivement : 
(9) Br Pie = DT P BY T PE 
