134 DÉMONSTRATION D'UN NOUVEAU CAS 
fi=2 Qt, n=7P#,  siQ,;pair, P:, P,, Q, impairs. 
Pi=P:0; RQ) 'h=—22:7%P;;, siP; pair, Q,, Q'impaits 
La première équation (35) devient ainsi : 
Qt 210,3. 7 Q'PH TPS, si Q, pair, P, et Q, impairs, 
= Q$—3.7 QPi+ot.77. PS, si Q, impair, Q, étant impair. 
Or la première de ces équations est impossible en nombres 
entiers avec les conditions posées : en effet, cette équation peut 
se mettre sous la forme 16((5)—0:) = 7(7°P.1)—3(7 021 7)?, 
et les deux membres sont incompatibles, car l’un est de la forme 
4.An, tandis que l'autre est de la forme 7(8n+1)—3(8n +1 = 
A(2n'+1), On a donc nécessairement : 
(36) QE == Q:5—3.7 Q. PH 08.7 7PS, 
et cest cette dernière équation qu'il s'agit de résoudre en 
nombres entiers. 
20. L'équation (36) peut se mettre sous la forme Q,?+ 
3(7 QPP,) = Qi+7(22.7%P.); Q, et Q, sont impairs; le lemme 
établi précédemment exige donc que P, soit divisible par 2. On 
peut donc poser P;—1IL,; léquation (36) devient alors Q,‘— 
Q.5—3.08 TEL Qt + 2127706 as (Q.4—3.25.7411,6)+ 26, 77(26—7.32) 
ILÿ, et parce que (2°— 7.3?) — 1, plus simplement : 
(37) Qu (Qi—3.25.7 IL) +7 (25.75.11). 
21. Pour résoudre cette équation, il faut poser : 
(38). Q°=f+79, HQ.'2°.3.7IL—f—79", 292 = 2°.79.IL* 
Jà ne peut être divisible par 7, puisque Q, ne peut l'être; f4 et ga 
sont premiers entre eux, sans quoi Q, et Q, auraient des facteurs 
communs. Q, étant impair, il faut que l'un des deux nombres 
fa et gs soit pair; or ce ne peut être f,, car g, étant alors pair, 
