136 DÉMONSTRATION D'UN NOUVEAU CAS 
f, est encore nécessairement premier avec 7%, et de même que 
la première (38), la première (42) démontre que f, est impair et 
g* pair. On est ainsi conduit à décomposer ainsi la troisième (42): 
P,—=QP;, fi = Q:', ga—=73Ps", (Q; premier avec 2.7.Q,), (P; pair). 
La seconde (42) devient +Q,t=(Q.+3.7:P;t)— 7(25.75.P.6), et 
l'on voit, comme plus haut, que le signe inférieur ne peut être 
admis, puisque P, est pair. On a donc nécessairement : 
(43) (Qu-+3.7 PA) = (Qu4-7(a9.7e Pa 
2h. Pour résoudre cette équation, il faut de nouveau poser 
(44) Q3.7 Pi +7g, QE 79, figs = 22.7 Ps. 
P; étant pair, le lemme établi démontre que g; est pair, f, im- 
pair. On voit encore que /, est premier avec 7.9,; ce qui conduit 
à la décomposition suivante de la troisième (44) : 
Ps=QPs, fo Qi g5—2?.7%.P5t,(Q, premier avec 2.7.Q,), (P, pair). 
La première (44) devient alors 
(45) Q,=Q—-3.7 PQi+2t.77.PS5. 
25. Or cette équation (45) est de la même forme que celle (36) 
d’où nous sommes partis; elle est seulement composée de nombres 
beaucoup plus petits. Ainsi s’il existe des nombres entiers U, V, W 
premiers entre eux qui vérifient l’équation 
(46) U=Vi—3.7 VI Wii, 77. WS. 
il existera, par cela même, une autre solution, composée de 
nombres beaucoup plus petits. D'où il résulte, comme l'on sait, 
que l'équation (46) est impossible en nombres entiers finis. Donc 
