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sphérique ou conique MDM’,M V M, touche, en un point tel que M, 
la surface LME, ce qui donne sur cette surface une ligne de con- 
tact, qui est une ligne MM, M, M,, non indiquée sur la figure, 
passant par tous les points tels que M. Maintenant, faisons tour- 
ner le plan NAV autour de la normale AN; les enveloppes E et e 
varieront, et si on les considère comme des enveloppées, il y 
aura deux positions consécutives de E qui se couperont ou se 
toucheront suivant la ligne MM, M, M., laquelle sera une caracté- 
ristique. De mème, deux positions consécutives de e donneront 
une caractéristique analogue mm, m,m,. Or, la première de ces ca- 
ractéristiques engendrera évidemment la surface enveloppe ÈME, à 
laquelle tous les rayons incidents sont normaux, et la seconde don- 
nera une surface om, de tout point analogue à la surface ÈmE, 
et à laquelle tous les rayons réfractés seront normaux. Done, etc. 
88. Prorosirion Il. — Corollaire. I est clair que l'enveloppée 
sphérique ou conique MDM', MVM', produit deux nappes ME, 
E'M'E, dont la première seule ÈME est normale aux rayons in- 
cidents; et 1l est aisé de voir que la seconde Y'M'E" serait nor- 
male aux rayons réfléchis, tels que M'A/, si la surface SAS était 
celle d’un miroir courbe: d’où l'on voit que le théorème du n° 85 
s'applique au cas de la réflexion comme à celui de la réfraction!. 
89. Prorosrrion II. — Corollaire. I suit de là que les rayons 
réfléchis ou réfractés par une surface S étant normaux à une sur- 
face È, sont soumis à la loi des normales de cette surface, loi 
d'où résultent les deux nappes de chaque surface des centres de 
courbure. Il faut en conclure : 
1° Que les rayons émanés d'un point et réfléchis ou réfractés 
par une surface forment deux systèmes de surfaces développables 
dont les arêtes de rebroussement composent deux nappes de caus- 
tique touchées lune et l'autre par tous ces rayons ; 
* Ce corollaire n’est autre chose que la proposition démontrée par M. Ch. Dupin 
dans ses Développements de géométrie, L. I, p.194; on voit ici que c’est une simple 
La démonstration que nous don- 
conséquence d'une proposition plus générale. 
nons de cette proposition nous a été suggérée par le travail même de M. Dupin. 
