SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 341 
La discussion de cette série embrasse deux points différents, 
selon qu'on cherche, soit la condition de sa convergence, soit le 
caractère qui distingue la racme qu’elle représente, de toutes 
les autres de l'équation dont la même série a été tirée. Ce sont 
ces deux points qui vont former lobjet de ce travail. Le premier 
a déjà été traité, d'abord par Lagrange lui-même, et ensuite 
par M. Cauchy, qui a obtenu à ce sujet des résultats très-remar- 
quables. Mais, en ce qui concerne le second point, nous avons la 
confiance d’être dans la vérité en disant que ce qu'on connait sur 
ce sujet laisse encore beaucoup à désirer, et lon nous pardon- 
nera d'affirmer que le plus important des résultats obtenus à cet 
égard demande à être rectifié. Aussi avons-nous pensé que c'était 
la partie de notre travail qui se rapporte à ce dernier point qu'il 
fallait faire paraître la première. 
L'objet de ce premier mémoire est donc de faire connaître la 
nature et les propriétés caractéristiques de la racine donnée par 
la série de Lagrange, et de montrer de quelle manière il faut 
faire usage de cette série, pour obtenir séparément toutes les 
races de l'équation proposée. 
Nous ne pouvions, pourtant, aborder cette question sans la 
faire précéder d’une considération très-importante, tendante à si- 
gnaler certains systèmes de valeurs du paramètre u, qui entre dans 
la formule (1) ci-dessus, lesquels, sous certames conditions ‘très- 
simples, rendent la série (2) nécessairement convergente. D'ail- 
leurs, il va sans dire que les propriétés que nous avons reconnues 
à la racine donnée par la série (2) reposent sur l'hypothèse que 
cette série soit convergente. Or cette hypothèse entraîne des con- 
séquences indispensables pour faire ressortir toutes les propriétés 
de la racine en question, conséquences que nous n’eussions Jamais 
été à même d’en tirer, sans emploi d’un théorème très-fécond 
sur la convergence des séries en général, dont le célèbre savant 
de France, déjà nommé, a récemment enrichi l'analyse. C’est donc 
à ce théorème, qui réduit la loi de convergence du développement 
d’une fonction d’une variable suivant les puissances entières de 
