SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 343 
Dans le second des écrits que nous venons de citer, Lagrange 
a présenté la question sous une forme qui nous semble plus nette. 
et peut-être plus précise. Il l'a présentée à peu près ainsi qu'il 
suit : Supposons que l'équation proposée ait ses coefficients tous 
déterminés, et rangeons dans l’ordre de leur grandeur ses diverses 
racines réelles; lon demande laquelle de ces racines on obtient 
par la série (2). Les résultats obtenus par Lagrange, à ce sujet. 
sont compris dans le théorème suivant. 
Supposons que la proposée ait été réduite à la forme (1) «i- 
dessus, de telle manière que f (x) soit de la forme 
(3) f(æ) =A+Bz+Cr +Dzx+E zx +... 
Si & est la racine la plus petite, ou, autrement, la plus appro- 
chée de zéro, on aura 
dfu 1 & fu 
du EP QULE 
NME ER 
(Voir page 223 de la note citée.) 
Mais, après avoir examiné ce théorème avec toute l'attention qui 
nous était commandée par l'autorité si imposante de Lagrange, 
nous oserons affirmer qu'il n’est point généralement vrai. Pour 
s'en convaincre sur-le-champ, il suffit de considérer ces deux 
exemples 
(5) 6,01—x+(0,1) a (x—5) (x—6) (x—6,1) — 0 
è 5,o01—x+(0,1) x’ (x—5} — o 
qui se trouvent discutés au $ II de ce mémoire. 
Le respect profond que nous portons au nom du grand géo- 
mètre italien nous a. imposé la tâche d'examiner, sous toutes ses 
faces, la démonstration du théorème dont il s’agit; et nous avons 
trouvé ($ III) qu’elle est absolument insuffisante par plusieurs rai- 
