SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 349 
De l'équation (13) nous tirons d’abord cette conséquence : que 
la série (4) est convergente ou divergente pour u—ui, ou, plus 
rigoureusement parlant, pour u infiniment rapproché de a; suivant 
qu'on aura 
(14) mod. Tmiecousr; 
en désignant par mod. f’{u;) le module de la quantité f{u:). 
Mais il y a plus : l'équation (13) entraine encore une conse- 
quence autrement importante à signaler. En effet, la limite R, 
savoir celle vers laquelle converge le rapport de deux termes con- 
sécutifs quelconques de la série (4), à mesure que les indices de 
ces termes tendent vers l'infini, est certainement une fonction con- 
tinue de u, ou elle est, au moins, telle, pour des valeurs de u 
voisines de u;. Il résulte de là qu'il existera nécessairement un sys- 
tème de valeurs de u, situées dans le voisinage de u;, qui, tout en 
différant de u; d’une quantité finie, s’en approcheront toutefois 
tellement, que la valeur correspondante de R différera de f'{ui) 
si peu, qu'elle sera plus grande ou plus petite que l'unité, en 
même temps que ceci aura lieu pour f’{u;). D'où vient le théo- 
rème que nous allons établir. 
Tuéorëme (A). — La série (4) est convergente, ou divergente 
pour toutes les valeurs de w en nombre infini, renfermées entre 
deux certaines limites /; et l';, comprenant entre elles la quantité u;, 
selon que mod. f'{u;) sera ou => 1. 
Mais cette proposition étant*fondamentale, il est bon de la 
démontrer d’une. manière plus rigoureuse. Pour cela nous nous 
appuierons sur le beau théorème de M. Cauchy, au moyen duquel 
ce grand géomètre ramène la loi de convergence du développe- 
ment de toute fonction d’une variable t suivant les puissances en- 
tières de cette variable, à la simple loi de continuité de la mème 
fonction, et de sa première dérivée. Ce théorème a été énonce 
par M. Cauchy de plusieurs manières, dans ses exercices de phy- 
sique et d'analyse, et dans nie de ses mémoires. Nous en 
rapporterons ici l'énoncé, qu'on trouve dans les comptes rendus 
