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320 RECHERCHES 
des séances de lInstütut de France, année 18/44 (deuxième se- 
mestre). 
Tuéorëme De M. Caucuy. — Supposons que f(t) et f'(t) res- 
tent fonctions continues de la variable { —r eV pour toutes les 
valeurs du module r de cette variable inférieures à une certaine 
limite k; supposons encore que la fonction f{{ l ou l'une quel- 
conque de ses dérivées devienne infinie pour r — #, et pour une 
valeur convenablement choisie de l'argument p; alors k sera la 
limite extrême et supérieure au-dessous de laquelle le module Fr 
pourra varier arbitrairement, sans que la fonction /{t) cesse d’être 
développable en une série convergente , ordonnée suivant les puis- 
sances entières et ascendantes de f. 
Pour faire usage de ce théorème, nous ss remplacerons l'équation 
(1) par la suivante: 
(15) u—x—+lf(x) = 0, 
où / est un paramètre variable. 
Ce qui nous conduit à remplacer la série (4) par la suivante : 
t* df{u) ( dife (u) 
(16) mteitf fees a rate EEE En 
t d d'J'(u) 
1.2.8:4 1 dut 
Ainsi, la condition de convergence de la série (4) se réduit à 
ce que la série que nous venons d'écrire soit convergente pour 
un module de { égal ou supérieur à l'unité, Cela posé , désignons 
par S (!) cette série (16). La série (4) devra être désignée en con- 
séquence par S (1), car elle se déduit de S (f) en y faisant { — 1. 
Or, pour trouver la condition de convergence de la série S (t), 
appelons & celle des racines de l'équation (15) qui est donnée par 
cette série. Cette racine, eu égard à un autre théorème de 
M. Cauchy, devra être regardée comme une fonction continue de 
t. Pour qu'elle soit donc développable en série convergente sui- 
