SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 353 
par la formule (21), pourvu qu'on y entende par æ une racine 
convenable de l'équation (22)..La question est ainsi réduite à dé- 
mêler la racine x, indiquée tout à l'heure, de toutes les autres 
racines appartenant, de même qu'elle, à l'équation (2 2). À cet 
effet, il faut observer que, puisque en faisant w — 0, la racine de 
l'équation (22), convenable à notre objet, est x — ui, ce qui donne 
ce résultat déjà trouvé plus haut 
. 
1 
mod f'(u;) ” 
il est évident que pour w non égal à zéro, mais seulement très- 
petit, la racine x de l'équation (2 2), qui convient à notre objet, 
sera celle, ou, mieux, l’une de celles qui se trouvent dans le voi- 
sinage de u;. 
Tâchons donc de déterminer ces racines. Pour cela écrivons 
l'équation (2 2) sous cette forme 
GS) w+ [(u—2)f(2)+f{a)] — 0, 
et commençons par remarquer que l'équation 
(26) (& — 2) f'{x) + f(x) = 0 
a toujours, au moins, deux racines égales à U;; car sa première 
dérivée, étant 
(27) (ui — x) f(x) = 0, 
a toujours une de ses racines égale à u;. 
Ajoutons que la même équation (26) pourra acquérir trois ra- 
cines égales à u;, ou quatre, ou même davantage, selon qu’on 
aura où seulement f"{u;) — 0, ou bien à la fois f'{u;) — 0, € 
(a) = 0, etc... comme on peut s’en convaincre tout de suite 
à l'inspection des dérivées de la même équation, lesquelles sont: 
celle du second ordre. . J'{x) + (x — u;) f(x) —0; 
(28) celle du troisième ordre 2 f(x) + — 0) f(x) — 0. 
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