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Mais la même équation (33) nous donne 
dy ul f'(u) J' (ui) 4'(u:) 
(41) HRRS COS ICT EU 
équation qui, en vertu des valeurs de O{u;) et de 6'(u;), tirées 
des équations (36) et (38), nous fournit la suivante : 
a AT rien 
(42) dut UNS 3 Jf'(u} 
Partant l'équation (34) deviendra 
(43) r—u+\/270), o |: — à LEA —- etc... 
Telle est la formule qui représente, en fonction de f {u;) et de ses 
dérivées, celles des racines de l’équation (22) qui se trouvent 
situées dans le voisinage de u;, et cela dans le cas où l'on a 
f'{u) > ou < 0. 
Mais ici il y a une observation importante à faire. C’est que la 
dernière formule cesserait de servir à la détermination de x, si 
lon avait f'(u;) — 0. Pour s’en convaincre, il faut considérer 
ceux des termes de la série (34) qui sont affectés des puissances 
fractionnaires a vs etc... En nous bornant au seul terme 
affecté de FE on trouve 
(4) EE = — 
j iVx 
et le second membre de cette équation devient imfini, lorsqu'on 
y fait x — u;, attendu que la valeur de y, donnée par l'équation 
(40), se réduit, dans ce cas, à zéro. 
Mais on trouve sans peine l'équation qui doit remplacer l'e- 
quation (43) dans l'hypothèse actuelle. Posons 
(45)  fa)=(c—uwr(x), f(x) =(x— x) (x) 
m(xæ), @(x) étant deux fonctions qui ne s’évanouissent ni ne de- 
viennent infinies pour æ = ü;. 
RER EE 
