SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 359 
avait f'(u;) — 0, comme on s’en apercevrait si l’on poussait plus 
loin le calcul des termes de la série, qui en compose Île second 
membre. Mais ce fait n’a rien d'étonnant, et il tient à ce que l’é- 
quation (2 2) n’a jamais qu'une seule racine voisine de u;, lors- 
qu'on a f'(u;) —= o, les autres dérivées f'(x;), f'(u;) ete... étant 
quelconques. Cette vérité, facile à démontrer en général, l’a déjà 
été précédemment, dans l'hypothèse de J'(u) — 0, et J'(u:) 
= où <T o. Nous la démontrerons encore pour le cas, où l’on 
suppose f'{u;) — 0, et à la fois f'\a}— 0, J'(u;) étant => ou 
<T oO. 
Alors nous poserons léquation 
58), fa=(r—um(x, la) = (z2--u) @ (2), 
m(x) et @,(x) étant deux fonctions qui ne s'évanouissent ni ne 
deviennent infinies pour © — u;. 
Ainsi l'équation (25) pourra s’écrire sous cette forme 
(59) w + (u; — x) | Re @) —= 0; 
ou bien 
] 1 “m(x) 14! 
(60) vo re médee «2: 
D'où l'on tire par la formule de Lagrange 
à PERE w mr (u;) 
(61) PET TU NT" M HE 
équation qui, d'une part, montre que, dans l'hypothèse actuelle, 
l'équation (22) n’a qu'une racine située dans le voisinage de u;; 
et, de l’autre part, offre le développement de cette racine suivant 
les puissances entières de w. Nous ne voulons pas nous arrêter 
ici à déterminer les coefficients des termes de cette dernière série, 
en fonction de J{u), et de sés dérivées J'{u), f°(w}, ete., ce 
qui, d'ailleurs, ne présente aucune difficulté, Nous ne croyons pas 
non plus devoir considérer les autres cas qui résultent des autres 
x 
