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hypothèses, qu'on peut encore faire sur les valeurs des dérivées 
f'{u), f'{u), etc... L'analyse précédente montre elle-même 
la marche qu'il faudrait suivre pour déterminer, dans chacun des 
cas en question, les formules propres à donner celles des racines 
de l'équation (22) qui se trouvent dans le voisinage de w;. Mais 
nous nous hâterons de revenir au véritable objet qui nous a con- 
duit à la discussion de l'équation (22), objet qui consiste, comme 
on sait, à déterminer le plus petit des modules des racines qu'ac- 
querrait l'équation (18) résolue par rapport à #, si lon y mettait 
préalablement pour & sa valeur en fonction finie de {. Ce module 
Tr, d’après les raisonnements déjà exposés, sera donné par l’équa- 
tion (21), où lon doit avoir soin de mettre à la place de x une 
des racines de l'équation (22) situées dans le voisinage de u;. Or 
ces racines, qui peuvent, d’ailleurs, être une ou plusieurs, géné- 
ralement se déterminent sans peine au moyen de l'analyse pré- 
cédente, et, en particulier, elles sont données par la formule (43) 
si f'(u;) et f'(u;) sont lun et l'autre => ou < 0; ou par la série 
(52), si l'on a f'(u;) == o et f'{u;) = où 0; où enfin par la 
série (55), si l’on a à la fois f’{u;) = ou 0, f'(u) — o, 
fa) 0; 
Cela posé, puisque la série S(1) est, comme on sait, conver- 
gente ou divergente, selon qu'on a 7 => où 1, on en conclura 
que la condition de sa convergence, pour a pris dans le voisinage 
de w;, sera . 
(62) mod f'(x) 1, 
où il faut faire attention, 1° qu'en général x doit recevoir, pour 
sa valeur, celle des racines de l'équation (22) qui se trouve dans 
le voisinage de u;, ou une de celles qui s’y trouvent, si l'équation 
(22) en a plus d’une de pareilles; 2° qu’en particulier x doit rece- 
voir la valeur donnée par l'équation (43), ou par l'équation (52), 
ou bien par (57) lorsqu'on a, ou f'{u;) et f'{u;) lun et l'autre 
rot ofto Mu) totem" (nr) tou C6;70ù enfin /”(u;) 
— 0, et f'(u;) et f{u;) lun et l'autre => ou 0. 
