SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 361 
Partant, si Ju) et f'(u;) sont tous deux différents de zéro. 
on aura, tout calcul fait, pour condition de convergence de la 
série S (1) 
(63) mod. [ J'(u) + Va of (x) fT 
He (fu) + PM) TS 
Si l'on à f'{a;) — 0, et f” (a) = où — 0, la condition de con- 
vergence dont il s’agit sera 
(64) mod. [a J'{ai) à 2 fui) a 
ri — L f (x) ae fe 
ü; 
et si f' (uw) — 0, f' (ui) et f” (u:) étant tous deux différents de 
zéro, la condition de convergence de la série S(1) deviendra 
(65) mod. | f{u) + 9 lu a) 
Il serait facile de former explicitement en fonction de œw, et 
des dérivées de f(u;), la condition de convergence de la série S (1), 
pour toutes les autres hypothèses qu'on pourrait encore faire sur 
les valeurs des dérivées de J (u). Mais les premiers membres 
des inégalités précédentes (63), (64), (65), eu égard notamment 
à ce qu’elles ne contiennent que des puissances positives de w, 
suffisent, 1° Pour montrer que les conditions de convergence 
qu'elles expriment ne manqueront pas d’être satisfaites, si l'on a 
mod. f' (a;) 1, etsi, en même temps, w est très-petit ; 2°pour nous 
convaincre qu'il en sera de même des conditions de convergence 
de la même série S (1), correspondantes à des hypothèses autres 
que les précédentes, qu'on pourrait encore faire sur les valeurs 
des dérivées de f ( u;). Car, certainement, ces conditions s’expri- 
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