362. RECHERCHES 
meraient de manière à ne contenir que des puissances positives 
de w, entières ou fractionnaires: et si elles doivent avoir un terme 
indépendant de w, ce terme ne pourra être que f’(u;), tout aussi 
bien que cela a lieu pour les inégalités ci-dessus (63), (64), (65). 
Nous avons donc dans ces inégalités, ou, pour mieux dire, dans 
l'inégalité (62), une confirmation de la vérité du théorème (A). 
Au reste, nous nous bornons aux développements que nous venons 
de donner de la démonstration de ce théorème, en nous réser- 
vant de revenir sur cette matière dans le second mémoire faisant 
suite à celui-ci, et que nous espérons publier bientôt. 
En général, étant donnée une série, dont les termes soient des 
fonctions d’un paramètre u, on pourrait appeler période de con- 
vergence de la même série, considérée comme une fonction de 
ce paramètre, le système de toutes les valeurs de u, comprises 
entre deux limites quelconques / et l', pour lesquelles valeurs la 
série est toujours convergente ; en sorte qu'en faisant varier u 
insensiblement depuis 4 — 1, jusqu’à u — |’, la somme de la série 
demeure constamment une quantité fimie. 
Cette dénomination une fois adoptée, si nous supposons qu’on 
ait mod. f'{u;) 1; il résulte du théorème (A) que la série (4) 
jouit, par rapport à u, d'une période de convergence, dont les 
limites /; et l'; comprennent entre elles la quantité u;. Mais remar- 
quons bien qu'il pourrait se faire (et il ne serait pas d’ailleurs dif- 
ficile d’en citer des exemples) que la série (4) fût continuement 
convergente pour toutes les valeurs de x renfermées entre deux 
limites comprenant entre elles plus d'une racme réelle de lé- 
quation f (x) — 0. Aussi, par période de convergence relative 
au paramètre u, et renfermant la racine réelle u; de f (x) = 0, 
nous n’entendons pas une période telle que ses deux limites ne 
comprennent jamais que la seule racine u;. Mais, au contraire, 
rien ne s'oppose à ce qu'en certains cas les mêmes limites, outre 
la racine u;, mdiquée dans l'énoncé même de la période, renfer- 
ment encore d'autres racines de la même équation f (x) = 0, 
inférieures ou supérieures à cette même quantité uj. D'après Ja 
