SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 363 
dénomination que nous venons d'adopter, on dira encore que les 
périodes de convergence de la série (4) relatives à u, et dont les 
limites renferment quelques-unes des racines de l'équation f(x) 
A = 2] Q 
— o, peuvent être en certain nombre, et chacune d'elles se dis- 
tinguera des autres par celle ou celles des racines de f(x) — 0, 
dans le voisinage de laquelle ou desquelles seront situées, de part 
et d'autre, les valeurs de u composant la même période. 
$ IT. 
Soit l'équation 
(1) u—x—+tf(x) — 0, 
laquelle est la même que l'équation (15) du paragraphe précé- 
dent, mais où nous regarderons u comme une quantité réelle et 
constante, et { comme un paramètre variable et toujours réel. En 
outre, nous y regarderons f (x) comme une fonction réelle quel- 
conque dé x, continue, ainsi que sa dérivée, pour toute valeur 
de x, ou, du moins, pour celles que nous aurons à considérer 
dans ce paragraphe. Ajoutons que, sans nuire à la généralité de 
la question, nous pouvons supposer que f (x) ne s’évanouit, ni 
devientinfini pour x —u, en sorte que cette fonction ne renferme, 
ni au numérateur, ni au dénomimateur, le facteur u — x élevé à 
quelque puissance que ce soit. 
Cela posé, reprenons la série S(t), qui a été considérée dans 
le paragraphe précédent, savoir : 
1.2 du 1.2.3 du 
(2) u + tf(u) + ms HG NIRe tt d'f°(u) 
— etc... . 
résultant de l'application de la formule de Lagrange à l'équation 
(1) ci-dessus. Supposons que cette série soit convergente pour 
toute valeur réelle de t, comprise entre les limites — let + l, 
et appelons toujours à la racine qu’elle représente. 
D'après les hypothèses que nous venons de faire, il est évident 
16. 
