364 RECHERCHES 
que cette racine æ& est une racine réelle pour toute valeur de + 
comprise entre les limites — / et + 7 mdiquées tout à l'heure. 
Mais elle jouit d’autres propriétés qu'il importe de faire connaître, 
et que nous allons énoncer dans les théorèmes suivants. 
Taéorème 1. — Nous disons, d’abord, que cette racine & est 
toujours croissante ou toujours décroissante, par rapport à {, pour 
toute valeur de { renfermée entre les limites de convergence — / 
et + 7 de la même série. Nous disons, de plus, qu'elle est crois- 
sante ou décroissante, selon que la quantité réelle f (u) est posi- 
tive ou négative. 
En eflet, en différentiant l'équation (1) par rapport à x et à !, 
et changeant ensuite x en &, on a 
da J. (a) 
(ô) ASE 
ds opt k mile pr à d f (a) 
en désignant par f' (a) le coeflicient différentiel SEA 
Or, le théorème de M. Cauchy, rappelé au paragraphe précé- 
dent, et relatif à la loi de convergence du développement de 
toute fonation d'une variable, montre que toute valeur de {, com- 
prise entre les limites de convergence — let + /, sera toujours 
inférieure à celle qui, conjointement avec la valeur correspon- 
dante de æ, tirée de la série S (1), rendrait le dénominateur ci- 
dessus 1 — { f' (œ) égal à zéro. Par suite, ce même dénomina- 
teur, pour toutes les valeurs de { comprises entre les limites — / 
et + /, doit toujours conserver le même signe. Mais il est facile 
de voir que pour { = 0, et pour { très-approché de zéro, valeurs 
pour lesquelles la série S (t) est évidemment convergente, le dé- 
nominateur dont il s’agit demeure toujours positif. Car le produit 
t f'(&), pour f très-petit, devient lui-même très-petit; à cause de 
la présence du facteur {, et à cause de ce qu’à mesure que # con- 
verge vers zéro, @ converge vers u, eb par suite f'(œ) converge 
vers f’{u). Il résulte de là que, tant que la série S (1) est conver- 
gente, le dénominateur 1 — +1 f° (x) est toujours positif. 
