SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 3065 
Considérons maintenant le numérateur f (æ). D'abord il con- 
serve, lui aussi, le mème signe pour toutes les valeurs que prend 
« dépendamment des valeurs que peut acquérir { entre les limites 
— let + 1. En effet, si, pour de pareilles valeurs de 4, f (x) 
pouvait changer de signe, il faudrait des parmi elles, il y en eüt 
une de nature à rendre f (æ) égal à zéro, ce qui ne peut avoir 
lieu à moins qu'on n'ait 4 — u, et f (u)— 0; résultat contraire 
à l'une des hypothèses établies sur la nature de f (x) au commen- 
cement de ce paragraphe. 
D'ailleurs, ce même numérateur f(x) devient égal à f(u) 
lorsque { — 0, car & se réduit alors à u. De on et de tout ce 
qui- précède, nous concluons que la valeur de © , donnée par 
l'équation (3), conserve toujours le même signe A toute valeur 
de {, pour laquelle la série S(t) est convergente, et, de plus, 
qu'elle est toujours positive ou toujours négative, selon que / (u) 
est, lui-même, ou positif ou négatif : ce qui démontre le théo- 
rème en question. 
Corollaire. — Supposons que la série S (4) reste convergente en 
faisant { == 1; en d’autres termes, supposons que la limite / soit 
supérieure à l'unité ; alors la série S (1) sera convergente. Cela étant, 
on conclura du théorème précédent que da racme de l'équation 
(4) gd f{z) #0; 
donnée par la série S(1), sera plus grande ou plus petite que «, 
suivant que f (u) sera positif ou négatif. 
En effet, si f (u) est positif, la racine donnée par la série S (1) 
est, en vertu du théorème précédent, croissante par rapport à {; 
et puisque en faisant {= 0, cette racine se réduit à u, il faut qu'en 
faisant t— 1, ‘elle soit plus grande que u. On démontrera de même 
que, si f (u) est négatif, la racine donnée par la série S (1 1} sera 
plus petite que u. 
Tuéorëme 2. — Soit toujours l'équation (1). Partageons ses 
racines réelles en deux classes, en rangeant, dans la première, 
