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toutes les racines plus grandes que le terme u, et, dans la se- 
conde, les autres racines, savoir celles qui sont plus petites que u. 
Nous disons que la racine &, donnée par la série S(f), est tou- 
jours, parmi toutes celles qui.sont de la même classe qu'elle, la 
racme qui s'approche le plus de la quantité u, premier terme de 
l'équation (1). 
La démonstration de ce théorème est très-simple. D'abord, il 
est évident que la racine & donnée par la série S ({) converge 
vers u, à mesure que { converge vers zéro, comme nous l'avons 
déjà observé. D'ailleurs, cette racme à est toujours une racine 
simple pour toute valeur de { comprise entre les limites de con- 
vergence — / et + l; car, pour de pareilles valeurs de £, la fonc- 
tion dérivée — 1 —+- 1 f' (x) du premier membre de l'équation (1) 
demeure toujours différente de zéro, comme nous l'avons remar- 
qué au commencement de la démonstration du théorème 1. Ainsi, 
il est certain que, quand l converge vers Z6TO , la racine & est la 
seule de toutes les racines de l'équation (1 (1) qui converge vers la 
limite u. D'où nous pouvons déjà conclure que, pour { — o et 
pour { très-voisin de zéro, la racme & sera certainement celle des 
racines de l'équation (1) qui s'approche le plus de u. Cela posé, 
en faisant varier depuis 110 Jusqu'à t— + |, il est évident 
que œ, comparée aux “seules racines qui sont de la même classe 
qu'elle, continuera, pour toute valeur de t, à être la racine la 
plus approchée de u, aussi longtemps qu'aucune racine de lé- 
quation (1) ne viendra à acquérir pour { — +, une des valeurs, 
qu'avait déjà acquise la racme & elle-même, pour une valeur de t 
comprise entre { — o et t = 7. Il suffit donc de faire voir que 
ce cas est impossible, pour que le théorème qui nous occupe soit 
complétement démontré. Or admettons, pour un moment, le cas 
en question comme possible, et concevons, pour fixer les idées, 
que 7’ étant une quantité comprise entre o et 7, la racine @ ac- 
quière la valeur a pour t == +, et la valeur b pour {== 7'; ce qui 
revient à supposer que la somme de la série S (+) soit a, et celle 
de la série S (7') soit b. Cela admis, supposons que, pour { — 7, 
