SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 367 
la proposée (1) acquière, outre la racine a, donnée par la série 
S (r), une autre racine égale à b et donnée par la série S (7). Il 
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en résulterait que l’on aurait à la fois 
(5) u—b+rf(b}—o, tu—b+rf(b) —o, 
ce qui signifie que l'équation 
(6) u—b+tf(b)—0 
résolue par rapport à { acquerrait deux racines {— 7, et {— 7; 
ce qui est absurde; car cette équation est du premier degré par 
rapport à t. . 
Le théorème que nous venons de démontrer fait naître cette 
autre question. Est-ce qu'il ne pourrait pas être généralisé de 
manière à conclure que la racine « est celle de toutes les racines 
de la proposée, soit de même classe, soit de classe contraire, 
qui s'approche le plus de la quantité u? La réponse ne saurait 
être que négative. Car d’abord la démonstration précédente se 
résume en ceci, qu'aucune des racines de la proposée ne peut 
prendre, pour { — 7, une de ces valeurs particulières par les- 
quelles la série S (t) a dû passer, en faisant varier { insensible- 
ment depuis { — o jusqu'à { — 7. Or, cette impossibilité ne suf- 
firait pas à démontrer la proposition générale que nous venons de 
nous proposer. En effet, il pourrait se faire que, depuis { — o 
jusqu'à  — +, une racine d’autre classe que à s’approchät de x 
en moins, tandis que à s’en approche en plus, ou vice versa, en 
sorte que, pour {— r, celle-là finit par s'approcher de u autant, 
et même plus que &, sans qu'elle doive pour { — + acquérir 
une de ces valeurs par lesquelles doit passer & en vertu de la 
variation de f entre les limites { — o et {1 — 7. 
A l'appui de la remarque que nous venons de faire, nous allons 
produire un exemple. 
Soit 
(7) 3,76 — x — (0,1) æ (4,5 — x) = 0. 
