368 -  RECHERCHES 
En comparant cette équation à la formule (4), on üre 
(8) d —= 570, (rie (010,2 (4,5 — x). 
D'ailleurs elle a ses trois racines réelles, lesquelles étant désignées 
par æ,, æ,, æ,, ont, pour leurs valeurs approchées, 
JM 007 MN Q00E 
(9) a — 
Or, en calculant quelques-uns des premiers termes de la série 
S (1), tels qu'ils deviennent en vertu des équations (8), on verra 
que la même série donne actuellement la racine x, — 2,507... 
Mais si on forme les différences u — x, et 7, — u, l’on trouve 
u — %, — 3,70 — 2,507 — 1250 
(10) 
Eu 4,999 — 3,76: — 1,235. 
D'où il suit que la racine x, et la racme x,, données par la série 
S (1), sont de classes contraires, et la première d’entre elles 
approche du terme u — 3,76, plus que la seconde. Cet exemple 
démontre donc, à la dernière évidence, qu'il est de toute néces- 
sité, pour la vérité de la conclusion du théorème 2, que la racme 
x, donnée par la série S (t), ne soit comparée qu’à celles qui sont 
de la même classe qu'elle, ainsi que nous l'avons fait dans l'énoncé 
du même théorème. Mais venons aux conséquences qui peuvent 
sen déduire. Il s'applique certainement aussi à la série S (1), 
comme celle qui se tire de la série S (t) en y faisant { — 1. Par 
suite, ce théorème et le corollaire du théorème 1, combinés, 
amènent cette conclusion, qui résume, pour ainsi dire, toutes les 
propriétés de la racine donnée par la série de Lagrange. 
THéoRèME 3. — Si f(u) est positif, la série S(1) représente 
une racine de l'équation (4) plus grande que u, et s’approchant 
de uw plus que toute autre racine de la mème équation, qui, 
comme elle, se trouve plus grande que u. Si, au contraire, f (u) 
est négatif, la racine que la même série S (1) représente, est plus 
