SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 369 
petite que u, et en approche plus que toute autre racine, qui, 
comme elle, se trouve plus petite que u. 
Ce théorème va nous aider à déterminer l'ordre ou le rang qui 
convient à la racine donnée par la série S (1), lorsque les racines 
de l’équation (4) sont supposées rangées entre elles, ou dans 
l’ordre de leurs respectives grandeurs, ou d’après un autre carac- 
tère distinctif quelconque. Mais, à ce sujet, il est nécessaire d’é- 
tablir les préliminaires suivants. 
Préliminaires. — Désignons par ordre de grandeur, à com- 
mencer par la plus petite, par 
A u ! ! U 
DEN DS D an At: SE : T p—15 Tps 
les diverses racines réelles de la première dérivée de l'équation (4) 
(11) ne at) | 
racines que nous supposons être au nombre de p, et qui sont évi- 
demment toutes indépendantes de la quantité u. 
Ces p racines, conjointement avec l'infini négatif et positif, nous 
offrent les limites de p+-1 intervalles, que nous indiquerons 
par (— 00.2"), (x,..2,).....(x,..co), en entendant généra- 
lement par (2°..2';,,) l'ensemble de tous les nombres compris 
entre les limites x’; et 4:.,. Or, par la théorie de la réalité des 
racmes de toute équation, nous savons qu'entre les limites de 
chacun de ces intervalles, la proposée, savoir l'équation (4), ne 
peut jamais acquérir plus d’une racine réelle, qui d’ailleurs n’aura 
effectivement lieu que pour des valeurs convenables de u. Par 
exemple, pour que la proposée ait une racine comprise entre les 
limites +’, et 2’,, il faudra, comme on sait, que les deux résultats 
u— x, + f(x), etu — x, + f(x) 
soient de signe contraire; ce qui entraine la nécessité que u soit 
une moyenne entre‘les quantités 
2 — f(x), et x, — f(x). 
SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 47 
