SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 371 
équation (4), jouissent de quelques propriétés qu'il importe de 
faire connaitre, 
Première propriété. — x; étant, d’après la notation que nous 
venons d'adopter, une quelconque de ces racines, nous disons 
d'abord que, regardée comme une fonction du paramètre 4, elle 
est ou toujours croissante, ou toujours décroissante par rapport à 
ce même paramètre. 
En effet, en différentiant l'équation (4) par rapport à x et à u, 
et changeant ensuite + en x;, on aura 
= dx; 1 
(16) Ta == MAT nr 
Mais, en vertu de l'équation (13), x, tant qu'elle est réelle, est 
toujours une quantité comprise entre æ';_, et æ;, qui sont, comme 
on sait, deux racines consécutives de la première dérivée (11). 
De là il devient évident que le dénominateur — 1 + f(x) doit 
toujours conserver le même signe pour toute valeur réelle que 
peut acquérier x; dépendamment du paramètre 4. Pour de pareilles 
sde et 5 
valeurs de x; la quantité + ci-dessus sera donc, ou toujours 
au 
positive, ou toujours négative : ce qui sufht pour démontrer la 
propriété en question. 
Une seconde propriété des racines de l'équation (4), x,, æ,, x... 
Z,, Cest que, prises dans l’ordre de leurs indices, comme nous 
venons de les écrire, elles sont, par rapport au paramètre u, alter- 
nativement croissantes et décroissantes, ou vice versa. 
Pour démontrer cette propriété, il suffit de faire voir que, si 
æ; est une racine croissante par rapport à u, la racine x;,, sera 
nécessairement une racine décroissante par rapport au même pa- 
ramètre. Or cela se démontre très-simplement aimsi qu'il suit. 
La formule (15) montre que les deux résultats 1 — f’{x;) et 
1— f(x), qu'on obtient en substituant dans le premier 
membre de l'équation (11) x; et x;., au lieu de x, doivent être 
affectés de signe contraire. Par suite, eu égard à la valeur de = 
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