SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 373 
Si, au contraire, l’on a 
(20) 1—/f (— oo) = +, 
il en résultera 
(2 00) CP LT EE do 9 Es 1 OEE 
et l’on en conclura que les racines d'ordre impair sont, actuel- 
lement, croissantes, et celles d'ordre pair décroissantes. 
Tels sont les préliminaires qu'il fallait établir. Essayons main- 
tenant de déterminer l’ordre appartenant à la racine & donnée par 
la série S(1) tirée de l'équation proposée (4), en suivant toujours 
le mode de distinction et d’arrangement des racines que nous 
venons d'adopter. 
La question revient à déterminer le rang que la racine & peut, 
dans tous les cas, occuper dans la suite de termes 
(22) DST ND Mr Tps Tp+a 
formée par celles des racines de la proposée (4) qui sont indiquées 
par les formules (12) et (13). 
Pour cela, nous TEA qUELONS d'abord que la racine & (celle 
qui est donnée par la série S (1) appartient toujours au nombre de 
celles des racines composant la suite (22), qui EE croissantes par 
rapport au paramètre u. En effet, la valeur de _ qu'on tire de 
l'équation (16) en y changeant x; en &, étant 
da L 
(2 3) Fa == Cu 
doit demeurer toujours positive, attendu que le dénominateur 
1 — f'(æ) reste toujours positif, ainsi que nous l'avons fait voir 
à l'occasion de la démonstration du théorème 1 de ce paragraphe, 
et à laide du théorème de M. Cauchy, cité dans cet endroit. 
Cela posé, supposons, pour fixer les idées, que ce soient les 
