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racines impaires &,, &,, &,... qui se trouvent croissantes, et que, 
par suite, celles d'ordre pair soient décroissantes (bien entendu 
par rapport à u); et cherchons, dans cette hypothèse, de quel 
ordre peut successivement devenir la racine &, donnée par la série 
S{1), tandis que u varie entre les limites — co et + ©, de 
manière à prendre toutes les valeurs propres à rendre la série S (1) 
convergente, Ces valeurs peuvent être partagées en plusieurs 
groupes, compris chacun dans un des intervalles que nous avons 
signalés, ét indiqués plus haut par (— co... x’), (a. 2,),.... 
(x,..00). Supposons, en général, que u reçoive une valeur eom- 
prise entre les limites z'ietxi,,, en sorte qu'elle soit une cer- 
taine moyenne entre ces deux racines de l’équation (11). Alors, 
pour déterminer l’ordre qui convient à la racine «, 1l faudra re- 
connaître, auparavant, les deux racines croissantes de la proposée 
(4) les plus approchées de a, lune en plus et l'autre en moins. 
Pour cela, il convient de distinguer les deux cas de ? impair et 
de # pair. 
Si : est impair, les deux racines en question ne peuvent être 
que x, et &;.,, pourvu, toutefois, que celles-ci soient réelles. On 
voit, de plus, que ces deux racines resteront toujours, l'une, 
savoir x; plus petite, et l’autre, savoir T;+,, plus grande que u, 
pour quelque valeur que ce paramètre vienne à prendre entre les 
limites x’; et æ';,,. Car, tant que les deux racines x; et x,., restent 
réelles, on a toujours, par les formules (12) et (13), 
CA ue SARA 2 En OR nee, 
quel que soit u, depuis u — — co, jusqu'à u — + 00. 
Ainsi, x, et x, étant réelles, la racine &, donnée par la série 
S{1), tandis que u varie entre les limites x’; et x':,,, sera, en 
vertu du théorème 3, tantôt celle de l’ordre 1, savoir æ;, tantôt 
celle de lordre 1 :+ 2, ou æ.,,, selon qu'on aura f (u) < 0, 
ou f .u) == o. Si l'indice à est pair, les deux racines croissantes 
les plus voisines de u, d’un côte et de l'autre, ne peuvent appar- 
tenir, au plus, qu'à l'un de ces deux couples, dont le premier est 
