SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 375 
ri, et æ,,, et l’autre x;,, et x;,,, pourvu, cependant, que ces 
trois racmes soient réelles. Ainsi, ces trois racines étant réelles, 
on peut conclure du théorème 3 que l'une d’entre elles sera, cer- 
tainement, celle des racmes de l'équation (4) que la série S(1) 
représente, tandis que le paramètre a varie entre les limites +’; 
et x: 
Les résultats que nous venons d'établir à l'égard de l'ordre de 
la racine æ, donnée par la série S (1), sont très-importants en ce 
qu'ils montrent d’une manière très-évidente que l’mdice de l'ordre 
de cette racine, loin de demeurer constant, pour quelque valeur 
que ce soit de u, peut, au contraire, s'accroitre à mesure que u 
croit lui-même, en sorte que nous pouvons établir ce théorème: 
TuéorÈme !. — Soient les racines de l'équation (4) d'ordre 
impair, saVoir : 
des racines croissantes; et soit u’ une première valeur de u com- 
prise entre les limites x’; et æ';,,, et pour laquelle la série S(r) 
est convergente, et les racines croissantes x; et x;,;, si t est im- 
pair, ou bien x; ,, æ;:,,, et ;,., si à est pair, acquièrent des va- 
leurs réelles. Concevons que de cette première valeur u’ de x, on 
passe à une seconde valeur u, de cette variable, comprise entre 
les limites x’; et ',,,, où ? dépasse : au moins de trois unités, 
si à est impair, ou de cinq unités, si # est pair; et supposons que 
cette seconde valeur u, soit de nature à rendre convergente la 
série S (1), et réelles les deux racines de la proposée, x;, et x;., 
si à est impair, ou bien les trois racines de la proposée æ;,,, x, 
@/.,, si à est pair. Alors l'indice de l’ordre de la racine @ est, à 
coup sûr, plus grand, pour cette dernière valeur u,, que pour la 
première u — u'. 
Nous ne nous arrêterons pas ici à examiner séparément le cas 
où les racines croissantes de l'équation (4), au lieu d'être celles 
d'ordre impair, comme nous l'avons supposé précédemment, se- 
raient celles d'ordre pair. Car on voit sans peine comment il faut 
