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modifier les résultats précédents, pour en obtenir ceux qui con- 
viennent à cette dernière hypothèse. Mais nous passerons tout de 
suite à établir un rapprochement très-important entre les résultats 
que nous venons d'obtenir, sur l’ordre de la racine donnée par la 
série S (1), et un théorème devenu très-célèbre par le nom de son 
auteur. Je veux parler du théorème de Lagrange, cité dans la pré- 
face de ce mémoire, et qu’on trouve dans la note XI de la réso- 
lution des équations numériques de ce grand géomètre. 
Pour mieux voir les conséquences de ce rapprochement, con- 
tinuons, pour fixer les idées, ä*admettre l'hypothèse que ce soient 
les racines d'ordre impair qui sont croissantes. Il sera facile de 
modifier les raisonnements suivants, de mamière à les rendre ap- 
plicables à l'hypothèse inverse. 
Concevons qu'on ait attribué à u une valeur # comprise entre 
les limites æ'; et x';,,, et de nature à rendre convergente la série 
S (1), et réelles la plupart des racines composant la suite (22), 
d'ordre inférieur à 1, et, notamment, les racines x; et x;,, sitest 
impair, ou bien #; ,, æ.,, et æ;,, si i est pair. Alors en rangeant, 
pour un moment, les racines réelles de la proposée entre elles, 
d'après un nouveau caractère distinctif, savoir d’ après leurs res- 
pectives grandeurs, il est évident que la racine 4;, qui, dans le 
premier mode d’arrangement précédemment adopté, est celle de 
l'ordre #, si elle est réelle, occupera dans la suite formée par les 
racines réelles rangées dans l'ordre de leurs grandeurs, une place 
dont le rang ne pourrait être qu'égal à ?, ou bien inférieur à à 
d'un petit nombre d'unités. D'ailleurs, 1l est bon de rappeler que 
la racine à donnée par la série S(1), pour la valeur u = u, que 
nous venons d'indiquer ci-dessus, comparée aux autres racines 
d’après le mode d’arrangement adopté, ne peut être que +; ou 
ti4, Si t est impair, ou bien l’une de ces trois x;:_,,4;,,,4;,,sit 
est pair. D'après cela, il est évident que si, pour un moment, on 
compare la racine œ aux autres racines réelles, par rapport à sa 
grandeur, comme nous venons de le suggérer ci-dessus, elle devra 
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prendre parmi celles-ci un rang qui pourra, sans doute, être 
