SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 381 
laquelle, d’après les formules (34), est x. Cette conclusion est 
confirmée par le calcul des premiers termes de la série, On trouve 
en effet 
f (a) —= — 0,000002)010 
(38) : —- — —+- 0,000000006256 
—= Lu — — 0,00000000023/78. 
Ces valeurs prouvent d’abord la convergence de la série, con- 
vergence qui était d’ailleurs assez démontrée parce que 5,001 est 
une quantité très-voisme de la racine double, et égale à 5, de l’'é- 
quation f(x) — 0, ($ I.). Ensuite elles donnent, pour somme de 
la série, 
d,0009975, 
, e 
nombre qui représente la valeur approchée de la racine x, à une 
unité près du septième ordre décimal, ainsi que le confirment les 
deux résultats, de signe contraire, qu'on obtient en substituant 
dans le premier membre de la proposée (31) x — 5,0009975, 
et x — 5,0009976. 
Mais la racine désignée par x,, et regardée comme celle du 
quatrième ordre, d’après le mode d’arrangement des racines ici 
adopté, demeure encore la racine du même rang, lorsqu'on déter- 
mine sa place, en la comparant aux autres par rapport à sa gran- 
deur. Nous avons donc, dans l’exemple que nous venons de con- 
sidérer, un second résultat contradictoire avec le théorème de 
Lagrange. 
S Ill. 
Après avoir démontré que le théorème de Lagrange sur l'ordre 
de la racine donnée par la série de Lagrange, désignée par S (1) 
