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dans les paragraphes précédents, n’est point généralement vrai, on 
est naturellement porté à se demander quelle est la cause qui a 
pu entrainer ce grand géomètre dans l'erreur. Pour cela, nous 
avons à considérer la démonstration que Lagrange a donnée de 
son théorème. Elle se trouve dans la note XI de sa Résolution des 
équations numériques. À la vérité, cette démonstration a été rap- 
pelée par d’autres géomètres, et notamment par Lacroix dans le 
tome [ de son Calcul différentiel. Mais partout, au fond, elle est 
restée la même; en sorte qu'on peut dire que nous n'avons du 
théorème en question qu’une démonstration, celle de Lagrange, 
dont l'examen va former l’objet de l'analyse suivante. 
Mais nous devons faire remarquer tout d’abord que l’objet de 
ce paragraphe est double. L’un est celui que nous venons de si- 
gnaler; l'autre consiste à montrer de quelle manière il faut se ser- 
vir de la série de Lagrange pour en obtenir séparément toutes les 
races réelles et simples de toute équation proposée 
+ 
(1) F (x) — 0, 
dont le premier membre F (x) est ici supposé une fonction réelle 
quelconque de x. 
Nous venons de dire racines réelles et simples; réelles, parce 
que c’est aux seules racines réelles que nous voulons nous borner 
ici; simples, parce que la série de Lagrange ne saurait être néces- 
sairement convergente lorsque la racine qu’elle devrait donner est 
multiple, comme nous l'avons déjà remarqué au commencement 
de la démonstration du théorème 1 du paragraphe IT. 
Hâtons-nous de dire que, pour remplir ce second objet, nous 
avons adopté un mode de réduction de la proposée (1) à la forme 
necessaire 
[ 
(2) u— x+ f(x) —o, 
qui rentre dans celui même que Lagrange a suivi comme fonde- 
ment de son théorème. 
