SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 383 
Avant tout, rappelons sommairement la démonstration du théo- 
rème de Lrgranse: telle qu'elle a été donnée dans la note déjà 
citée. 
Lagrange suppose d’abord que l'équation (1) soit réduite à la 
forme (2), de manière que f (x) soit une fonction de x entière et 
rationnelle , telle que 
(3) f&=A+Bz+Cz +D zx +... 
Nous remarquerons en passant que cela revient à mettre léqua- 
tion (1) sous la forme 
(4) u—x+{[z—u+kF(x)] —o, 
u et À étant deux quantités constantes et entièrement arbitraires. 
Cela posé, soient, pour employer les notations de Lagrange, 
les diverses racines réelles ou imaginaires de léquation (1). 
Lagrange fait voir d’abord que, Ÿ (x) étant une autre fonction 
de x entière et rationnelle, on aura, en général, 
É L (a ï , 
(5) EE = Wu) + W (0) (2) 
Ai Henens “etc 
1.2 
L2 
du u" 
que » est un nombre entier et positif, et que l'on ne doit re- 
tenir que les termes qui contiendront des puissances négatives 
de a. 
Nous ajouterons, de notre part, que la formule (5) subsiste 
même en supposant que la fonction Ÿ (x) ait des facteurs en x 
communs avec le premier membre de l'équation (1), par exemple 
 (u) — _ et Wy(u) — HE (=). et observant de plus 
