SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 385 
divisée par la quantité 
Ÿ 
(8 L+É+.. 
s'exprimera par la série 
@)  w+ru-tfa + (ufr) 
ut f°u) + etc... 
dont les termes sont tous indépendants de la fonction Y. 
Cela étant, Lagrange admet que n étant, par hypothèse, un 
nombre infiniment grand, les deux A ci-dessus (7) et (8) 
se réduisent à leurs premiers termes . et — —, & étant la plus 
petite des racines réelles de lion (1). ee hypothèse ad- 
mise, le quotient de la quantité (7) divisée par (8) se réduirait 
à a, et le théorème faisant l’objet de cette discussion se trouve- 
rait par là démontré. 
Mais l'hypothèse précédente, sur laquelle s'appuie Lagrange, à 
savoir que le quotient mentionné tout à l'heure se réduise tou- 
jours à &, n étant infiniment grand, n’est point CRRCRREnS ad- 
missible. En effet, il faudrait pour cela que la proposée n'eüt pas 
de racines imaginaires, et que Ÿ & ne fût jamais nul pour aucune 
des valeurs que peut comporter Ÿx d’après l'esprit de l'analyse 
de Lagrange. Mais, au contraire, aucune de ces deux conditions 
n’est exigée par l’analyse mentionnée. Bien plus : la seconde de 
ces deux conditions, loin d’être exigée par cette analyse, y est 
absolument contraire. Car, d’après cette même analyse, et no- 
tamment eu égard à la remarque faite plus haut à propos de la 
formule (5), la fonction (x) est entièrement arbitraire, et seu- 
lement astreinte à être une fonction de x entière et rationnelle. 
D'où il s'ensuit qu'il est permis de la regarder comme ayant 
des facteurs en x, x — 4, x— GB, etc., communs avec le pre- 
mier membre de l'équation (1), ce qui rendrait nuls Ÿ &, Ÿ &, etc. 
SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 49 
