SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 387 
ou bien il donnera la puissance r d’une d’entre les racines réelles 
de la proposée. Il y a plus : à l’aide de valeurs convenables don- 
nées à la même fonction Ÿx, le quotient dont il s’agit peut être 
amené à représenter successivement chacune des racines réelles 
de l'équation (1). 
Pour démontrer ce théorème soit a; la plus petite des racines 
réelles de la proposée, qui ne sont pas communes à l'équation 
Ÿx — o. Soit encore 7; le plus petit de tous les modules des 
racines imaginaires de la proposée, qui ne sont pas communes à 
l'équation Ÿ x — o. Distinguons de plus ces deux cas : l'un, lorsque 
a; est  7;, l’autre, où a; est => m;. Dans le premier cas, pour 
connaître la véritable valeur du quotient de la quantité (7) divisée 
par (8), nous écrirons ces deux quantités sous la forme suivante, 
eu égard à l'équation (11). 
(15) = [vu+() vo, + (2) Va, + etc... 
+ 2 (2) (A, cos n@, + B, sin n@,) + etc.. | 
(14) = ÊTEZ (£) "vo + ete... 
+ 2 OC cos (n+r)®@, + B, sin(n+r) g) +. 
Or le quotient de la première de ces quantités divisée par 
l'autre se réduit évidemment à æ; en faisant n — co. Car, eu 
égard aux hypothèses faites sur a; et 7;, et notamment à ce qu’on 
suppose ici & <Z %;, les termes des expressions (13) et (14) qui 
suivent le premier se réduisent tous à zéro, parce que chacun 
d’eux est le produit de deux facteurs, dont l’un ou l’autre est égal 
EL 
i 
à zéro. Ainsi, par exemple, le terme (=) Ÿ a, est égal à zéro 
“ 
parce que, par hypothèse, ou le facteur Ÿ à, est lui-même égal à 
ë ë CA : : . . 
zéro, ou bien la fraction — est moindre que l'unité, d’où il suit 
œi \" : SP 
(=) — 0 en faisant n infini. 
œ 
49. 
