SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 389 
R est donc constant que le quotient de la quantité (7) divisée 
par (8), considéré en lui-même, est, en vertu de la fonction arbi- 
traire Ÿ, susceptible de plusieurs valeurs, savoir celles que nous 
venons d'indiquer dans le théorème précédent. Certes, parmi ces 
valeurs, il y en a une qui est celle de la somme de la série (9)- 
Mais l'analyse de Lagrange ne montre pas, remarquons-le bien, 
laquelle d’entre elles sera, dans chaque cas, la valeur de la même 
série. Par conséquent, la démonstration dont il s’agit est insuffi- 
sante à prouver le théorème que Lagrange voulait par là établir, 
et elle n’est propre, au plus, qu'à prouver que la série (9) repré- 
sente la puissance r d’une des racines réelles de l'équation (1), 
sans rien indiquer encore de ce qui distingue cette racine des 
autres. ‘ 
Mais il est encore un autre point de vue sous lequel la dé- 
monstration de Lagrange peut être facilement réfutée. C’est la 
manière même de ramener toute équation proposée à la forme 
(2), sur laquelle s’appuie la même démonstration. Cette manière 
consiste, comme on l’a vu, à réduire toute équation proposée à 
la forme (2), avec cette seule condition que, dans la formule de 
réduction, f (x) soit une fonction entière de x de la forme (3). 
Or si l'équation proposée est (1), la fonction f(x) satisfera à la 
condition mentionnée si l’on fait 
(18) fa) =z—-u+RkF(x), 
ce qui revient à écrire l'équation (1) sous la forme 
(19) u—z+{[r—u+kF(x)] —=0o, 
où il faut remarquer avec soin que u et k sont deux quantités 
constantes qui, d’après l'esprit de l'analyse de Lagrange, restent 
imdéterminées, et qu'on peut, par suite, choisir à volonté. Or. 
la série de Lagrange tirée de l'équation (19), loin de donner 
constamment la plus petite racine de l'équation (1) (ce qui de- 
vrait être si le théorème de Lagrange était vrai), en disposant con- 
