SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 391 
du paragraphe IF, il sera facile de prouver que la série de Lagrange 
tirée de l'équation (23) est convergente, et qu’elle offre précisé- 
ment la racine & qu'il s’agit de trouver. 
Commençons par démontrer la première partie de cette propo- 
sition, C'est-à-dire que la série de Lagrange tirée de l'équation 
précédente est convergente. 
Pour cela, nous observerons, avant tout, que lorsque k — o, 
et par suite u— v — 0, l'équation 
(24) x — u — 
qu'on obtient en égalant à zéro la fonction comprise entre paren- 
thèses dans le premier membre de léquation (23), a une racme 
multiple égale à u, et partant à «, laquelle est une racine double 
si F'(œ) — ou 6, triple si F’(«) — o, et à la fois F’(a) 
> où — 0, etc. 
Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que les diverses déri- 
vées de léquation (24) sont 
1 — i OM Tr) = 6 Nix) 0 etc. 
dont la première est vérifiée par identité lorsque x — «, car par 
hypothèse v — x. 
Mais en vertu des équations (20) et (22), les racines x de lé- 
quation (24) peuvent être considérées comme des fonctions con- 
tinues de k. (Voir le Mémoire sur la nature et les propriétés des 
racines d’une équation qui renferme un paramètre variable , tome Il 
des Exercices d'analyse et de physique mathématique, par M. Cauchy.) 
Il résulte de là que, pour des valeurs de k très-petites ou de u 
et v très-approchées de «, l'équation (24) aura deux ou pue 
racines très-voisines de @. 
Soit w une de ces racines; on pourra l'obtenir en série ordon- 
née suivant les puissances de u — à — + h, ainsi qu'il suit. 
