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394 RECHERCHES 
D'ailleurs, nous remarquerons que w étant une racine de l’é- 
quation (24), dont la valeur est, comme nous venons de voir, 
très-voisine de u, on peut dire inversement que, dans l'équation 
(23), u représente une quantité très-voisine d’une des racines de 
l'équation (24). Donc, eu égard au théorème (A) du paragraphe [, 
nous conclurons de l'inégalité (33) que la série de Lagrange tirée 
de léquation (23) est convergente. 
Première remarque. — La conclusion précédente subsiste tou- 
Jours, même lorsqu'on supposerait v égal à &; cependant, dans ce 
cas, la racine w et la quantité Ÿ' ne seraient plus données par les 
séries qui composent les seconds membres des équations (29) et 
(31); car les coeflicients des termes de ces séries deviendraient 
alors infimis. Mais il est facile de voir que à serait alors une racine 
multiple de l'équation (26), en sorte qu'en ayant recours à un 
artifice analogue à celui suivi dans le paragraphe 1, on parvien- 
drait à exprimer %, et par suite 0’, en série ordonnée suivant les 
puissances ou de Aï ou de h*, etc., selon qu'on aura F” (x) == ou 
Lo, ou bien F”(&) — 0, et en mème temps F” (œ) = ou <o. 
Ainsi la valeur de f' (w) — 1 — Fee pourra toujours s'exprimer 
en série ordonnée suivant les puissances positives entières ou frac- 
tionnaires de h, et l'inégalité (33) sera toujours satisfaite pour 
très-petit. 
Deuxième remarque. — L'équation (29) offre, sous forme de 
série, la valeur d’une des racines voisines de & qu’acquiert l'équa- 
üon (24) lorsqu'on attribue à u et v des valeurs elles-mêmes voi- 
sines de œ&. On peut ajouter, pour surplus, que les racines men- 
onnées peuvent être toutes développées en séries convergentes à 
l’aide de la formule de Lagrange. Soit, par exemple, u — à + h, 
etu — à + h', h et h' étant très-petits. 
L’équation (24) pourra s’écrire ainsi: 
(34) hF'{v) + (a — x) F'(v) +F (x) —o; 
et observant que l’on a 
